Het Black-Scholes model

Het Black-Scholes model

In antwoord op Kamervragen legt Minister Koolmees uit dat het gebruik van de risicovrije rente bij het bepalen van de dekkingsgraad van pensioenfondsen is gebaseerd op het onderzoek dat werd verricht door Black, Scholes en Merton in de negentiger jaren naar de totstandkoming van prijzen voor complexe financiële producten zoals opties. Het Black-Scholes of het Black-Scholes-Merton model is een mathematisch model voor de dynamiek van een financiële markt met instrumenten met het karakter van derivaten. Vanuit de partiële differentiaal vergelijking , bekend als de Black-Scholes vergelijking, kan de Black-Scholes formule worden herleid, die een theoretische schatting maakt van de prijs van een optie zoals die in Europa wordt verhandeld. Het toont aan dat deze optie een unieke prijs heeft geheel los van het risico, van de zekerheid en de verwachte opbrengst. Het vervangt het verwachte rendement door een risicovrije rente.

Uit een brief van President van De Nederlandsche Bank Klaas Knot van 19 september 2018 blijkt dat bij toepassing van dit model in alle gevallen de risicovrije rente moet worden gebruikt, omdat bij gebruik van een verwacht rendement ook de verwachte uitkering moet worden meegenomen en dat is een waardevaste uitkering. Hieruit blijkt dat DNB en in haar kielzog de Minister van Sociale Zaken en Werkgelegenheid van mening zijn dat het product “pensioen” vergeleken kan worden met derivaten. Sommige economen delen dat standpunt. Als je uitgangspunt is dat pensioenen verwant zijn aan derivaten dan is de oplossing van de risicovrije rente wetenschappelijk daaruit af te leiden. Nobelprijswinnaars zeggen het zelf: de discontovoet moet de risicovrije rente zijn.

 Maar kun je het product “pensioen” wel beschouwen als een derivaat? Een derivaat is een beleggingsproduct dat zijn waarde ontleent aan een onderliggend product, zoals bijvoorbeeld een aandeel. Derivaten zijn bedoeld om de toekomstige risico’s van prijsveranderingen van het onderliggende product te verminderen. In een artikel uit 2018 vergelijkt Sweder van Wijnbergen het pensioenproduct met een derivaat:

Een pensioencontract is een complex derivaat waarvoor u in ruil voor uw door het pensioenfonds beheerde beleggingen een serie nominale toezeggingen krijgt. Als dat echt zo zou gaan – een keer storten en dan afwachten of er op het moment suprême geleverd gaat worden – zou het een forward contract zijn, maar dan loop je tegenpartijrisico: als de prijs na zo veel jaren afwijkt van de oorspronkelijke prijs, moet je maar afwachten of de tegenpartij kan of wil leveren. Dat willen we natuurlijk niet en daarom lijkt een pensioencontract meer op een futures contract. Daarbij wordt dezelfde uitruil gemaakt, maar als er verschil ontstaat tussen de waarde van toezeggingen en het onderpand, moet er elk jaar aangepast worden om de twee weer gelijk te krijgen. Zo wordt tegenpartijrisico uitgeschakeld, maar is er wel een voortdurend liquiditeitsrisico. Pensioenen werken net zo, al zijn er geen door marktpartijen afgesproken margin calls (zo heten die correcties) maar wel door toezichthouder DNB afgedwongen aanpassingsregels.

De hele discussie rond de rekenrente bij pensioenen draait om de vraag: moet je inderdaad het pensioen beschouwen als een complex derivaat, zoals hierboven door Sweder van Wijnbergen beschreven? Uiteindelijk gaat het om een door de werkgever ingelegde premie (die deels wordt doorberekend aan de werknemer) in ruil waarvoor de werknemer een voorwaardelijk vermogensrecht verkrijgt, dat wordt uitgedrukt in een opbouwpercentage in relatie met het middelloon. Heeft de werknemer hiermee een optie gekocht, een derivaat met als onderliggende waarde de premie en de daarop gemaakte rendementen? In het nieuwe stelsel, waar sprake is van een premieregeling, is de toezegging zacht, dat wil zeggen als er te zijner tijd onvoldoende middelen zijn dan wordt minder uitgekeerd. De werknemer kan niet tussentijds ingrijpen, behoudens zijn of haar indirecte invloed op het bestuur van het pensioenfonds. Het pensioenfonds kan wel ingrijpen en doet dat ook veelvuldig door het wijzigen van het beleggingsbeleid en door het opstellen en uitvoeren van een risicobeleid. Maar de hoofddoelstelling van het pensioenfonds is daarbij om het rendement te maximeren binnen de grenzen van een gekozen risicoprofiel. Het gaat dan om de groei en de bescherming van de omvang van de totale belegde middelen.

Laten we nog eens kijken naar de wijze waarop Black, Scholes en Merton hun model uitwerken.

Het model is ontwikkeld voor de berekening van de prijs van één Europese optie. De risicovrije rente is een van de input variabelen.
In het model worden de volgende aannames c.q. condities genoemd:
  • Het betreft een Europese call optie die op expiratiedatum kan worden uitgeoefend.
  • Er worden gedurende de looptijd van de optie geen dividenden uitbetaald.
  • De markten zijn efficiënt (marktbewegingen kunnen niet worden voorspeld)
  • Er zijn geen transactiekosten verbonden aan de koop van een optie.
  • De risicovrije rentevoet en de volatiliteit van de onderliggende waarde zijn bekend en constant.
  • De rendementen op de onderliggende waarde zijn normaal verdeeld.
De risicovrije rente en de mate van volatiliteit zijn bekend en constant. De Nederlandsche Bank keert deze voorwaarde echter om en gaat uit van het benodigde beschikbare kapitaal om aan de pensioentoezegging te kunnen voldoen. De ‘prijs’ van de optie is dan hoeveel er op T0 beschikbaar moet zijn om op T40 het benodigde beschikbare bedrag bij elkaar te hebben ‘gespaard’.  De pensioentoezegging wordt dus behandeld alsof het een call optie zou zijn. Het gaat in het model bovendien om de prijs van een Europese call optie op één aandeel. Niet om een belegde portefeuille bestaande uit een mix van vastrentende waarden, aandelen, vastgoed, grondstoffen en derivaten. Die samenstelling verandert bovendien, afhankelijk van de ontwikkelingen op de financiële markten.  De volatiliteit van de portefeuille is onbekend en zeker niet constant. De rendementen zijn niet normaal verdeeld. Er worden dividenden uitbetaald. Feitelijk overbodig om te vermelden dat opties geen duration hebben van 40 jaar. Aan de voorwaarden wordt dus ook niet voldaan. De Nederlandsche Bank heeft dit geprobeerd te mitigeren door het model aan te vullen met een model voor stochastische variantie, maar hiermee wordt slechts een deel van het theoretische probleem behandeld. Bovendien blijft het algemene bezwaar bestaan: de aankoop van een pensioenrecht wordt gelijk gesteld aan de aankoop van een call optie en dat is fundamenteel onjuist.
 
De conclusie moet zijn dat het Black-Scholes-model niet is ontworpen voor pensioenen op basis van een spaarinleg en daarom totaal ongeschikt is voor de toepassing bij pensioenaanspraken. Hiermee komt de basis aan de risicovrije rente als discontovoet te vervallen. Het model is ook nimmer bedoeld geweest voor pensioenaanspraken. De veronderstelling dat de aanspraak op een aanvullend pensioen feitelijk een call optie is en dat daarom deze formule kan worden toegepast, is onjuist, zelfs absolute kletskoek.

We moeten gewoon constateren dat het product “pensioen” geen derivaat is in de betekenis die het voor de deelnemer zou moeten hebben. De deelnemer kan niets meer dan afwachten of de belofte wordt nagekomen. De voorwaarden die zijn vermogensrecht inhouden zijn daarbij simpel: maakt het pensioenfonds het rendement zoals dat is ingebouwd in de premie dan is de nominale uitkering verzekerd, maakt het pensioenfonds een hoger rendement dan is dit beschikbaar voor indexatie. Sinds het nieuwe FTK is de inflatie ingebouwd in het verwachte rendement zoals dat wordt gebruikt bij vaststelling van de premie. Daarmee wordt indexatie gemakkelijker haalbaar.

De deelnemer kan niet weglopen, zijn tegoed opnemen en elders beleggen en het pensioenfonds kan niet failliet gaan. Dat geeft het pensioenfonds het karakter van een spaarfonds met een veilig profiel. Je weet weliswaar niet wat er precies uitkomt maar omdat tegenvallers en meevallers worden gedeeld is de kans op een (bevredigende) uitkomst nagenoeg 100%. Je raakt nooit al je geld kwijt.

De risicovrije rente is niet gelijk aan het in de premie ingebouwde verwachte rendement. Het idee in het pensioenakkoord om premiedemping niet meer toe te staan en ook de risicovrije rente te gebruiken voor berekening van de premie zal het pensioenstelsel onbetaalbaar maken. Het zal leiden tot onnodig hoge besparingen. En er zit al zoveel geld in de pensioenpotten. Bovendien is toepassen van de risicovrije rente voor de premieberekening ook theoretisch onjuist. Bij de huidige lage rente zal het leiden tot premiepercentages boven de 30%. Het aanvullend pensioen wordt dan wel erg duur.

Rob de Brouwer

Ad Broere

15 augustus 2019

 

Tags:
Geen reactie's

Geef een reactie